已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-13，1)，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-

1

3

，1)，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：海珠区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）g′（x）=3x²+2ax-1由题意3x²+2ax-1＜0的解集是(-

1

3

，1)
即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

1

3

，1．
将x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x²-2x-1，∴g′（-1）=4，
∴点p（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点p（-1，1）处的切线方程为：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．（8分）
（III）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

对x∈（0，+∞）上恒成立
设h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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