已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

试题来源：石景山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．…（1分）
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数； …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f^′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间(

1

a

，+∞)上，f^′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是(

1

a

，+∞)，递减区间是(0，

1

a

)．…（6分）
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f^′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，则

x-1-lnx

x

≥b …（8分）
令g(x)=

x-1-lnx

x

=1-

1

x

-

lnx

x

，则g′(x)=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x

…（10分）
易得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，…（12分）
所以g（x）_min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：