已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-1．（1）求函数h（x）=f（x）-12g（x）的最值；（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x2-1）成立，求实数k的取值组成的集合．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-1．（1）求函数h（x）=f（x）-12g（x）的最值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函数h（x）=f（x）-

1

2

g（x）的最值；
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求实数k的取值组成的集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）h(x)=lnx-

1

2

(x2-1)，(x＞0)
求导函数可得h′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，(x＞0)，所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
所以h（x）的最大值为h（1）=0．…．（3分）
（2）令函数F（x）=lnx-k（x²-1）得F′(x)=

1

x

-2kx=

1-2kx2

x

当k≤0时，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）递增，
故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．…．（5分）
当k＞0时，当x∈(0，

1

2k

)时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；
当x∈(

1

2k

，+∞)时，F′（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．
所以F(x)≤F(

1

2k

)=ln(

1

2k

)

-

1

2

+k；即 F（x）的最大值F(

1

2k

)≤0…．（8分）
令t=

1

2k

，则k=

1

2t2

，(t＞0)．
令函数H(t)=lnt+

1

2t2

-

1

2

，H/(t)=

1

t

-

1

t3

=

t2-1

t3

所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；
所以函数H（t）≥H（1）=0，
从而F(

1

2k

)=H(t)≥0，∴F(

1

2k

)=H(t)=0…（11分）
就必须当t=

1

2k

=1，即k=

1

2

时成立．
综上k∈{

1

2

}．…．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-1．（1）求函数h（x）=f（x）-12g（x）的最值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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