已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+mx-1)（a＞0且a≠1）为奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域-数学试题及答案

1、试题题目：已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+mx-1)（a＞0且a≠1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）为奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），请确定实数a与b的取值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若函数f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）为奇函数
故f（-x）+f（x）=loga(1+

m

-x-1

)+loga(1+

m

x-1

)=loga[(1+

m

x-1

)(1+

m

-x-1

)]=loga[

-x2+(m-1)2

1-x2

]=0
即

-x2+(m-1)2

1-x2

=1，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+

2

x-1

)=loga(

x+1

x-1

)，
当0＜a＜1时，函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，函数在区间（1，+∞）上为减函数，理由如下：
令x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，1+

2(x2-x1)

(x1-1)?(x2+1)

＞1
则f（x₁）-f（x₂）=loga(

x1+1

x1-1

)-loga(

x2+1

x2-1

)=loga(

x1+1

x1-1

?

x2-1

x2+1

)=loga[1+

2(x2-x1)

(x1-1)?(x2+1)

]
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为减函数
（3）由（1）得f（x）=loga(

x+1

x-1

)的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此时函数的解析式无意义；
当a＞1，若函数的解析式有意义，则1≤b＜a，
由（2）可得，此时函数在（b，a）上为减函数
若函数f（x）的值域为（1，+∞）
则f（a）=1，
即loga(

a+1

a-1

)=1
即

a+1

a-1

=a
解得a=1+

2

且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞
解得b=1
综上，a=1+

2

，b=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+mx-1)（a＞0且a≠1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：