已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=1-

a

x2

，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8．
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函数f（x）的解析式为f(x)=x-

8

x

+9．
（Ⅱ）f′(x)=1-

a

x2

．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

魔方格

所以f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)内是增函数，在(-

a

，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）的较大者，对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，当且仅当

f(

1

4

)≤10

f(1)≤10

，
即

b≤

39

4

-4a

b≤9-a

，对任意的a∈[

1

2

，2]成立．
从而得b≤

7

4

，所以满足条件的b的取值范围是(-∞，

7

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：