已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程有三个-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数g（x）=ax²﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k

2^x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程

有三个不同的实数解，求实数k的范围．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）²+1+b﹣a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故

当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故

∵b＜1
∴a=1，b=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x²﹣2x+1.

．
方程f（2x）﹣k

2^x≥0化为

，
令

，k≤t²﹣2t+1
∵x∈[﹣1，1]
∴

记φ（t）=t²﹣2t+1
∴φ（t）_min=0
∴k≤0
（Ⅲ）方程

化为

|2^x﹣1|²﹣（2+3k）|2^x﹣1|+（1+2k）=0，|2^x﹣1|≠0
令|2^x﹣1|=t，则方程化为t²﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程

有三个不同的实数解，
∴由t=|2x﹣1|的图象知，t²﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁、t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1
记Φ（t）=t²﹣（2+3k）t+（1+2k）则

或

∴k＞0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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