设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）=f（-1）=0；（2）求证：y=f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x--数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1?x2）=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x₁，x₂恒有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
令x₁=x，x₂=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
（3）不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．
即f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴|x(x-

1

2

)|≤1，
解得：

1-

17

4

≤x＜0或

1

2

＜x≤

1+

17

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1?x2）=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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