已知函数f（x）=x3-x2，x∈R．（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明：f（m）、f（n）至少有一个不小于零；（Ⅱ）若a、b为不相等的正数，且满足f（a）=f（b），求证：a+b＞1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-x2，x∈R．（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-x²，x∈R．
（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明：f（m）、f（n）至少有一个不小于零；
（Ⅱ）若a、b为不相等的正数，且满足f（a）=f（b），求证：a+b＞1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：反证法与放缩法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）假设f（m）、f（n）都不小于零，∴f（m）=m³-m＜0，f（n）=n³-n＜0，
∴m²（m-1）＜0，∴0＜m＜1，同理0＜n＜1，∴0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾，
∴f（m）、f（n）至少有一个不小于零．
（Ⅱ）∵f（a）=a³-a=b³-b，∴a³-b³=a²-b²，∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），
∴a²+ab+b²=a+b，∴（a+b）²-3ab=a+b，∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，
∴（a+b）²-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，∵a、b为不相等的正数，∴a+b＞1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-x2，x∈R．（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法与放缩法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法与放缩法”。

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