一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（Ⅰ）求点F1关于直线l的对称点F1′的坐标；（Ⅱ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（Ⅲ）设直-数学试题及答案

1、试题题目：一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（Ⅰ）求点F₁关于直线l的对称点F₁′的坐标；
（Ⅱ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F₂的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设F₁的坐标为（m，n），则

n

m+1

=-

1

2

且2?

m-1

2

-

n

2

+3=0．
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，因此，点F₁′的坐标为（-

9

5

，

2

5

）．
（Ⅱ）∵|PF₁′|=|PF₁|，根据椭圆定义，
得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=

(-

9

5

-1)2+(

2

5

-0)2

=2

2

，
∴a=

2

，b=

2-1

=1．∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅲ）∵

a2

c

=2，∴椭圆的准线方程为x=±2．
设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．
则d1=

(t-1)2+(2t+3)2

=

5t2+10t+10

，d₂=|t-2|．

d1

d2

=

5t2+10t+10

|t-2|

=

5?

t2+2t+2

(t-2)2

，令f(t)=

t2+2t+2

(t-2)2

，(-2＜t＜2)，则f′(t)=

(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)?2(t-2)

(t-2)4

=

-(6t+8)

(t-2)3

，
∵当-2＜t＜-

4

3

，f′(t)＜0，-

4

3

＜t＜2，f′(t)＞0，t=-

4

3

，f′（t）＞0．
∴f（t）在t=-

4

3

时取得最小值．
因此，

d1

d2

最小值=

5?f(-

4

3

)

=

2

，此时点Q的坐标为（-

4

3

，

1

3

）（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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