已知点A（-2，0），B（2，0）（1）过点A斜率33的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，3-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A（-2，0），B（2，0）（1）过点A斜率33的直线l，交以A，B为焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点A（-2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率

3

的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，

3

2

），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），直线l的方程为y=

3

(x+2)
直线代入双曲线方程，整理可得（3b²-a²）x²-4a²x-4a²-3a²b²=0
设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4a2

3b2-a2

，∴

x1+x2

2

=

2a2

3b2-a2

∵线段MN的中点到y轴的距离为1，∴

2a2

3b2-a2

=1，∴a=b
∵A（-2，0），B（2，0）为焦点，∴a²+b²=4，∴a=b=

2

，
∴双曲线的标准方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）证明：设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b′2

=1，代入C（1，

3

2

），可得

1

4

+

3

4b′2

=1，∴b′=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
∴椭圆的上顶点G（0，1），
设直线s的方程为y=kx+1，则直线t的方程为y=-

1

k

x+1
y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，∴x=0或x=-

8k

1+4k2

∴y=1或y=

1-4k2

1+4k2

，即P（-

8k

1+4k2

，

1-4k2

1+4k2

）
同理可得Q（

8k

4+k2

，

k2-4

4+k2

）
∴k_PQ=

k2-4

4+k2

-

1-4k2

1+4k2

8k

4+k2

+

8k

1+4k2

=

k2-1

5k

∴PQ的方程为y-

1-4k2

1+4k2

=

k2-1

5k

（x+

8k

1+4k2

）
令x=0，可得y=-

3

5

∴PQ必过y轴上一定点（0，-

3

5

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A（-2，0），B（2，0）（1）过点A斜率33的直线l，交以A，B为焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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