已知函数f(x)=m-x2x（m∈R）．（1）若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在[12，2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=m-x2x（m∈R）．（1）若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

m-x2

x

（m∈R）．
（1）若y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在[

1

2

，2]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，其导数在[1，+∞）上恒小于等于0，且满足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以f′(x)=

-x2-m

x2

≤0恒成立，即

x2+m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上单调减函数，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）g(x)=

m-x2

x

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

x2

=-

(x-

1

2

)2+m-

1

4

x2

…（7分）

当m-

1

4

≥0，即m≥

1

4

时，g'（x）≤0，
∴g（x）在[

1

2

，2]上单调递减，
∴g(x)max=g(

1

2

)=2m-

1

2

-ln2…（9分）
当-2≤m＜

1

4

时，由g'（x）=0得x1=

1-

1-4m

2

，x2=

1+

1-4m

2

，
显然-1≤x1＜

1

2

，

1

2

＜x2≤2，
∴x1?[

1

2

，2]，x2∈[

1

2

，2]，又g′(x)=-

(x-x1)(x-x2)

x2

当

1

2

≤x≤x2时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减 …（12分）
∴g(x)max=g(x2)=

2m

1+

1-4m

-

1+

1-4m

2

+ln

1+

1-4m

2

=-

1-4m

+ln

1+

1-4m

2

…（14分）

综上所述，（1）当m≥

1

4

时，g(x)max=2m-

1

2

-ln2；
（2）当-2≤m＜

1

4

时，g(x)max=-

1-4m

+ln

1+

1-4m

2

…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=m-x2x（m∈R）．（1）若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：