已知函数f（x）=x2+ax-（a+1）lnx（a＜-1），（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求出f（x）的极值；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，-a]，有|x·f′（x）|≤2a2恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+ax-（a+1）lnx（a＜-1），（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x²+ax-（a+1）lnx（a＜-1），
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求出f（x）的极值；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，-a]，有|x·f′（x）|≤2a²恒成立，求a的取值范围。

试题来源：湖南省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x+a-

，
因为f（x）在x=2处的切线与x轴平行，则f′（2）=0，得a=-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

，
则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
则当x=1时，f（x）有极大值

，
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2。
（Ⅲ）令g（x）=x·f′（x）=x²+ax-（a+1），x∈[1，-a]，
依题意，x∈[1，-a]时，-2a²≤g（x）≤2a²恒成立；
即g（x）_min≥-2a²且g（x）_max≤2a²，而g（x）的对称轴为

，
（ⅰ）当

时，即当-2＜a＜-1时，
g（x）_min=g（1）=0＞-2a²成立，g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²也成立；
故-2＜a＜-1符合题意；
（ⅱ）当

时，即a≤-2时，
由

，解得

（舍），
g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²成立或g（x）_max=g（1）=0≤2a²也成立，故a≤-2符合题意；
综合（ⅰ）（ⅱ）知a＜-1都符合题意。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+ax-（a+1）lnx（a＜-1），（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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