发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-17 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）由已知推得fk（x）=（n-k+1）xn-k，从而有fk（1）=n-k+1 （2）证法1：当-1≤x≤1 时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1 当x＞0时，F′（x）＞0 所以F（x）在[0，1]上为增函数 因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在[-1，0]上为减函数 所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0） F（1）-F（0）=Cn0+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1=ncnn-1+（n-1）cnn-2+…+（n-k+1）cnn-k+…+2cn1+cn0 ∵（n-k+1）cnn-k=（n-k）cnn-k+cnk=ncn-1k+cnk（k=1，2，3，…，n-1） F（!）-F（0）=n（cn-11+cn-12+..+cn-1k-1）+（cn1+cn2+…+cnn-1）+cn0 =n（2n-1-1）+2n-1=2n-1（n+2）-n-1 因此结论成立． 证法2：当-1≤x≤1 时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1 当x＞0时，F′（x）＞0 所以 F（x）在[0，1]上为增函数 因函数 F（x）为偶函数 所以 F（x）在[-1，0]上为减函数 所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（!）-F（0） F（!）-F（0）=cn0+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1 又因F（1）-F（0）=2cn1+3cn2+…+kcnk-1+…+ncnn-1+cn0 所以2[F（1）-F（0）]=（n+2）[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+2cn0 F（1）-F（0）=
因此结论成立． 证法3：当-1≤x≤1时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1 当x＞0时，F′（x）＞0 所以F（x）在[0，1]上为增函数 因函数F（x）为偶函数 所以F（x）在[-1，0]上为减函数 所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（!）-F（0） F（!）-F（0）=cn0+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1 由x[（1+x）n-xn]=x[cn1xn-1+cn2xn-2+…+cnkxn-k+…+cnn-1+1]=cn1xn+cn2xn-1+…+cnkxn-k+1+…+cnn-1x2+x 对上式两边求导得（1+x）n-xn+nx（1+x）n-1-nxn=ncn1xn-1+（n-1）cn2xn-2+…+（n-k+1）cnkxn-k+…+2cnn-1x+1 F（x）=（1+x2）n+nx2（1+x2）n-1-nx2n ∴F（1）-F（0）=2n+n2n-1-n-1=（n+2）2n-1-n-1． 因此结论成立． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f0（x）=xnfk(x)=f′k-1(x)fk-1(1)，其中k≤n（n，k∈N+），设F（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。