已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=63．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l倾斜角的取-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=63..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l倾斜角的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得b=2，

c

a

=

6

3

结合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
①当x₁=x₂=2时，斜率不存在时，不妨令

OA

=(2，

2

6

3

)，

OB

=(2，-

2

6

3

)
∴

OA

?

OB

=4-

8

3

=

4

3

＞0，∠AOB为锐角成立 …（6分）
②当x₁≠x₂时，设直线l的方程为：y=k（x-2）
由

x2

12

+

y2

4

=1

y=k(x-2)

得x²+3k²（x-2）²=12
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-12

1+3k2

，…（8分）
∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

8k2

1+3k2

∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

8k2-12

1+3k2

＞0 …（10分）
解得k＞

3

或k＜-

3

．…（12分）
综上，直线l倾斜角的取值范围是（

π

3

，

2π

3

）．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=63..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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