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1、试题题目：已知点列An（xn，0）满足：A0An?A1An+1=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知点列An（xn，0）满足：
A0An
?
A1An+1
=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a＞1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(
a
，0)，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：Sn＜
a
-1
2-
a
．

  试题来源：乐山二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：用坐标表示向量的数量积



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵A0（-1，0），A1（1，0），∴
A0An
?
A1An+1
=(xn+1)(xn+1-1)，
∴（xn+1）（xn+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=
xn+a
xn+1
，
∴f(x)=
x+a
x+1
．（3分）
（2）∵xn+1=f(xn)=
xn+a
xn+1
，a＞1，∴xn＞1，∴xn+1＞2
∵
BAn
=(xn-
a
，0)，∴an=|BAn|=|x n-
a
|．
∵an+1=|x n+1-
a
|=|f(xn)-
a
|=|
xn+a
xn+1
-
a
|=
(
a
-1)
|xn+1|
?|xn-
a
|＜
1
2
(
a
-1)?|xn-
a
|=
1
2
(
a
-1)an
∴要使an+1＜an成立，只要
a
-1≤2，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵an+1＜
1
2
(
a
-1)|xn-
a
|＜
1
22
(
a
-1)2?|x n-1-
a
|＜…＜＜
1
2n
(
a
-1)n?|x 1-
a
|=
1
2n
(
a
-1)n+1，
∴an＜
1
2n-1
(
a
-1)n（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an＜(
a
-1)+
1
2
(
a
-1)2+…+
1
2n-1
(
a
-1)n=
(
a
-1)[1-(
a
-1
2
)n]
1-
1
2
(
a
-1)

（11分）
∵1＜a≤9，∴0＜
a
-1
2
≤1，∴0＜(
a
-1
2
)n≤1（13分）
∴
(
a
-1)[1-(
a
-1
2
)n]
1-
1
2
(
a
-1)
＜
a
-1
1-
1
2
(
a
-1)
＜
a
-1
1-(
a
-1)

∴Sn＜
a
-1
2-
a
（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点列An（xn，0）满足：A0An?A1An+1=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中用坐标表示向量的数量积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用坐标表示向量的数量积”。


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