已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为32．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为32．如..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为

3

2

．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．
（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；
（2）证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵e=

c

a

=

3

2

，∴设椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
将M（2，1）代入，得

4

4b2

+

1

b2

=1，解得b²=2，
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1，
因此左焦点为（-

6

，0），斜率k1=kOM=

1

2

，
所以直线l的方程为y=

1

2

（x+

6

），即y=

1

2

x+

6

2

．
（2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

(

1

2

x1+m-1)(x2-2)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

，（*）
设l：y=

1

2

x+m，由

y=

1

2

x+m

x2

8

+

y2

2

=1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
所以x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
代入（*）式，得
k₁+k₂=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为32．如..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：