已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}是等比数列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整数且成等比数列，求a₃的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₁+a₂+a₃=15，b₁b₂b₃=27．
可得a₂=5，b₂=3，
所以a₁=b₂=3，从而等差数列{a_n}的公差d=2，
所以a_n=2n+1，从而b₃=a₄=9，{b_n}的公比q=3
所以bn=3n-1． …（3分）
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则a₁=5-d，b1=

3

q

，a₃=5+d，b₃=3q．
因为a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，所以(a1+b1)?(a3+b3)=(a2+b2)2=64．
设

a1+b1=m

a3+b3=n

，m，n∈N^*，mn=64，
则

5-d+

3

q

=m

5+d+3q=n

，整理得，d²+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得d=

n-m+

(m+n-10)2-36

2

（舍去负根）．
∵a₃=5+d，
∴要使得a₃最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）²取最大值．
∵m，n∈N^*，mn=64，
∴当且仅当n=64且m=1时，n-m及（m+n-10）²取最大值．
从而最大的d=

63+7

61

2

，
所以，最大的a3=

73+7

61

2

…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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