在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，n∈N．（1）求数列{An}的前n项和Sn；（2）求Tn=tana2?tana4+tana4?tana6+…+t-数学试题及答案

1、试题题目：在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂?tana₄+tana₄?tana₆+…+tana_2n?tana_2n+2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，
设为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁?b₂?…?b_n+1?b_n+2，…①；A_n=b_n+2?b_n+1?…?b₂?b₁，…②
由等比数列的性质，得b₁?b_n+2=b₂?b_n+1=b₃?b_n=…=b_n+2?b₁=2，
∴①×②，得

A

2n

=(b1bn+2)?(b2bn+1)?…?(bn+1b2)?(bn+2b1)=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴An=2

n+2

2

．
因此，可得

An+1

An

=

2

n+3

2

n+2

2

=

2

（常数），
∴数列{A_n}是首项为A1=2

2

，公比为

2

的等比数列．
∴数列{A_n}的前n项和S_n=

2

[1-(

2

)n]

1-

2

=(4+2

2

)[(

2

)n-1]．
（2）由（1）得an=log2An=log22

n+2

2

=

n+2

2

，
∵tan1=tan[(n+1)-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，
∴tan(n+1)tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，n∈N*．
从而tana_2n?tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N*
∴

Tn=tana2?tana4+tana4?tana6+…+tana2n?tana2n+2

=tan2?tan3+tan3?tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)

=(

tan3-tan2

tan1

-1)+(

tan4-tan3

tan1

-1)+…+(

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1)

=

tan(n+2)-tan2

tan1

-n．

即T_n=tana₂?tana₄+tana₄?tana₆+…+tana_2n?tana_2n+2

=

tan(n+2)-tan2

tan1

-n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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