已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根，且a1=1．（Ⅰ）求证：数列{an-13×2n}是等比数列；（Ⅱ）Sn是数列{an}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得bn-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（Ⅱ）S_n是数列{a_n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2n?x+bn=0(n∈N*)的两实根，
∴

an+an+1=2n

bn=an?an+1

…（2分）
∵

an+1-

1

3

×2n+1

an-

1

3

×2n

=

2n-an-

1

3

×2n+1

an-

1

3

×2n

=

-(an-

1

3

×2n)

an-

1

3

×2n

=-1．
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]
∴Sn=a1+a2+…+an=

1

3

(2+22+23+…+2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]
=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．…（8分）
因此，bn=an?an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*） …（10分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立，
因为

1

3

(2n+1)(n为奇数）的最小值为1．所以λ＜1．…（12分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1)-

λ

3

(2n+1-2)＞0，即

1

9

(2n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，
∵

1

6

(2n+1+1)(n为偶数）的最小值为

3

2

，∴λ＜

3

2

．
∴存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立时λ的取值范围为（-∞，1）．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：