已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=ann+λ为等比数列，（Ⅰ）求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sn为{an}的前n项和，求Sn；（Ⅲ）令cn=bn(bn-1)2，数列-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=ann+λ为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

2n

n-1

a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=

an

n

+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=

bn

(bn-1)2

，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，an=

2n

n-1

an-1+n，
∴

an

n

=2

an-1

n-1

+1，即

an

n

+1=2(

an-1

n-1

+1)，故λ=1时
有b_n=2b_n-1，而b1=

a1

1

+1=2≠0
b_n=2?2^n-1=2ⁿ，从而a_n=n?2ⁿ-n
（Ⅱ）S_n=1?2+2?2²+…+n?2ⁿ-（1+2+…+n）
记R_n=1?2+2?2²+…+n?2ⁿ
则2R_n=1?2²+2?2³+…+n?2ⁿ+1
相减得：-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-

n2+n-4

2

（Ⅲ）cn=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1)(2n-2)2

=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)2

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)
n≥2时，Tn＜

21

21-1

+

1

2-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)

=2+1-

1

2n-1

＜3
而T₁=

2

2-1

=2＜3
∵?n∈N^*，7_n＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=ann+λ为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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