如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；

（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

试题来源：河北省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形 ∴∠OAP=∠QBP=90°， ∵∠OPQ=90°， ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP， ∴∠BPQ=∠AOP， ∴△AOP∽△BPQ， ∴， ∴OA·BQ=AP·BP；
（2）由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ=m（4-m）， ∴， ∴CQ=3-，即L==， ∴当m=2时，L（最小）=；
（3）∵∠OPQ=90°， ∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ，当点P在线段AB上时，如图（1）， △AOP≌△BPQ， ∴PB=AO=3， ∴AP=4-3=1， ∴P₁（1，3），当点P在线段AB的延长线上时，如图（2）此时△QBP≌△PAO， ∴PB=AO=3， ∴AP=4+3=7， ∴P₂（7，3），当点P在线段AB的反向延长线上时，如图（3）此时∵PB＞AB＞AO， ∴△PQB不可能与△OPA全等，即PQ不可能与PO相等，此时点P不存在，综上所述，知存在P₁（1，3），P₂（7，3）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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