解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，
∴AC=5，
由旋转可知：A'C=AC=5，
∴A'O=A'C-OC=2，
∴A（-4，0），C（0，3），A'（0，-2），
可求得直线AA'的解析式为y=-x-2，
抛物线与直线AA'交于点D，设点D（x，y），
∵，
∴，解得y=-，
将y=-代入y=-x-2，得x=5，
∴D（5，-），
∵抛物线过A、C、D三点，
∴可求得抛物线的解析式为；

（2）由得对称轴为x=-，
∵⊙P与抛物线的对称轴相切，可有两种情况：
情况1：如图②，过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E，
交y轴于点F，点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，即PE=，PF=2，CF==，
∴FO=CO-CF=，
∴P（2，），
∵点P的坐标满足，
∴点P在抛物线上；
情况2：如图③，过点P′向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E'，交轴于点F'，
同理可求得点P'（2，），
∵点坐标P'不满足抛物线，
∴此点P′不在抛物线上。