解：（1）连接AF，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠3，∠4=∠2，
又∵AB=AF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
又∵AO=AF，AE=AE，
∴△AOE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∴FC是⊙O的切线；
（2）由（1）知EF=OE=，
∵AE∥BF，
∴，
∴，
∴①；
又∵OE²+OC²=CE²，
∴②；
由①②解得OC=0（舍去）或OC=2，
∴C（2，0），
∵直线FC经过E（0，-），C（2，0）两点，
设FC的解析式：y=kx+b，
∴，解得，
∴直线FC的解析式为y=；
（3）存在：当点P在点C左侧时，若∠MPN=90°，过点P作PE⊥MN于点E，
∵∠MPN=90°，PM=PN，
∴PH=PM×cos45°=，
∵AF⊥FC，
∴PE∥AF，
∴△CPE∽△CAF，
∴，
∴，
∴CP=，
∴PO=-2，
∴P（2-，0），
当点P在点C右侧P′时，设∠M′P′N′=90°，过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q，则P′Q=，
∴P′Q=PE，可知P′与P关于点C中心对称，根据对称性得：
∴OP′=OC+CP′=2+，
∴P′（2+，0），
∴存在这样的点P，使得△PMN为直角三角形，P点坐标（2-，0）或（2+，0）。