已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f‘（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-（n=1，2，…）。（1）求α、β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有an>α；（3）记b-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f'（x）是f（x）的导数，设a₁=1，a_n+1=a_n-

（n=1，2，…）。
（1）求α、β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n>α；
（3）记b_n=ln

（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n。

试题来源：广东省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：一元二次方程及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由方程x²+x-1=0解得方程的根为

又∵α，β是方程的两个实根，且α>β
∴

（2）∵

∴

下面用数学归纳法证明当n≥1时，a_n-α>0成立
①当n=1时

命题成立；
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即a_k-α>0，
此时有a_k>α>0
则当n=k+1时，

命题成立，根据数学归纳法可知，对任意的正整数n，有a_n-α>0。
（3）根据（2）同理可得，对任意的正整数n有

仍由（2）知，对任意的正整数n，

于是对任意的正整数n，

∴

即数列{b_n}是首项为b₁，公比为2的等比数列，故数列{b_n}前n项之和为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元二次方程及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一元二次方程及其应用”。

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