已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的56．（1）求n的值；（2）求（1+2x）n的展开式中系数最大的项．-数学试题及答案

1、试题题目：已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-14 07:30:00

试题原文

已知（1+2x）ⁿ的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的

5

6

．
（1）求n的值；
（2）求（1+2x）ⁿ的展开式中系数最大的项．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据题意，设该项为第r+1项，则有

C

rn

2r=2

C

r-1n

2r-1

C

rn

2r=

5

6

C

r+1n

2r+1

（2分）
即

C

rn

=

C

r-1n

C

rn

=

5

3

C

r+1n

亦即

n=2r-1

n!

r!(n-r)!

=

5

3

n!

(r+1)!(n-r-1)!

（4分）
解得

r=4

n=7.

∴n=7．（6分）
（2）设第r+1项系数最大，则有

C

r7

2r≥

C

r-17

2r-1

C

r7

2r≥

C

r+17

2r+1

，（8分）
即

2

C

r7

≥

C

r-17

C

r7

≥2

C

r+17

亦即

2

7!

r!(7-r)!

≥

7!

(r-1)!(7-r+1)!

7!

r!(7-r)!

≥2

7!

(r+1)!(7-r-1)!

（10分）
解得

2

r

≥

1

8-r

1

7-r

≥

2

r+1

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

r=5，（13分）
∴二项式展开式中系数最大的项为T₆=C₇⁵（2x）⁵=672x⁵．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

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