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1、试题题目：已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)（1）求f（x）+f（1-x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=
ax
ax+
 a 
( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)的值；
（2）是否存在自然数a，使
a
f(n)
f (1-n)
＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较
1
4
n (n+1 )?lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）f（x）+f（1-x）
=
ax
ax+
a
+
a1-x
a1-x+
a

=
ax
ax+
a
+
a
a+ax
a

=
2aax+a2x
a
+a
a
(ax+
a
)(a+ax
a
) 

=1．
f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)
=[f(
1
10
) +f(
9
10
) ]+[f(
2
10
)+f(
8
10
) ]+[f(
3
10
) +f(
7
10
) ]+[f(
4
10
) +f(
6
10
) ]+f(
1
2
)
=4+
a
2
a

=
9
2
．
（2）假设存在自然数a，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2对一切n∈N都成立．
由f(n)=
an
an+
a
，f(1-n)=
a
a
+an

得
a
f(n)
f(1-n)
=…=
a
an
a
=an，
当a=1，2时，不等式an＞n2显然不成立．
当a≥3时，an≥3n＞n2，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+
C1n
×2+
C2n
×22+…≥1+2n+4×
n(n-1)
2
=2n2+1＞n2成立，
则 3n＞n2对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3n＞n2?3
n
2
＞n（n∈N），
所以3
1
2
＞1＞0，3
2
2
＞2＞0，…，3
n
2
＞n＞0，
相乘得3
1
2
(1+2+…+n)＞n!，3
n(n+1)
4
＞n!，
1
4
(n+1)nlg3＞lgn!成立．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)（1）求f（x）+f（1-x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


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