在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-11+x．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；（2）设x1，x2∈[0-数学试题及答案

1、试题题目：在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数

1

x

f(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-

1

1+x

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明|f(x2)-f(x1)|＜

1

2

|x2-x1|；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

试题来源：广东三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，
∵

1

x

f(x)=

1

x

(1-

1

1+x

)=

1

x

1+x

-1

1+x

=

1

x

1+x

(

1+x

+1)

=

1

1+x+

1+x

，
∴

1

x

f(x)为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）|f(x2)-f(x1)|=|

1

1+x2

-

1

1+x1

|=

|

1+x1

-

1+x2

|

1+x2

1+x1

=

|x2-x1|

1+x2

1+x1

(

1+x2

+

1+x1

)

，
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，

1+x2

1+x1

(

1+x2

+

1+x1

)＞2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x2-x1|．
（3）∵当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立．当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时．等价于：

a≥

1

x

f(x)

b≤

1

x

f(x)

，
由（1）

1

x

f(x)为减函数，1-

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，∴a≥

1

2

，b≤1-

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：