已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则

S1

S2

为定值．

试题来源：福建试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3(x-

3

)(x+

3

)，
当x∈(-∞，-

3

)和(

3

，+∞)时，f′（x）＞0；
当x∈(-

3

，

3

)时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为(-∞，-

3

)和(

3

，+∞)，单调递减区间为(-

3

，

3

)．
（2）曲线C与其在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3

x

31

-1)x-2

x

31

y=x3-x

解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，进而有
S₁=|

∫

-2x1x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

41

，用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得
x₃=-2x₂和S2=

27

4

x

42

，又x₂=-2x₁≠0，所以S₂≠0，因此有

S1

S2

=

1

16

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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