已知函数f（x）=12[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．（1）求t的值；（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（3）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．（1）求t的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．
（1）求t的值；
（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（4）是f（x）的最小值
对f（x）求导，有f'（x）=

1

2

（

t

x+2

-

1

x-2

），
∴x=4时，f'（x）=0，∴

t

4+2

-

1

4-2

=0，∴t=3；
（2）f'（x）=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

(x+2)(x-2)

∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=

3

2

ln5，f（7）=

3ln9

2

-

ln5

2

∴f（3）＞f（7），∴x=3时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为

3

2

ln5；
（3）F′（x）=

a

x-1

-f′（x）=

a

x-1

-

x-4

(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．（1）求t的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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