已知函数f（x）=alnx+2a2x+x（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+2a2x+x（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤

1

2

e2．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1（x＞0）
根据题意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

．
（II）f′(x)=

(x-a)(x+2a)

x2

(x＞0)
（1）当a＞0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；
（2）当a＜0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函数f（x）在（-2a，+∞）上单调递增，在（0，-2a）上单调递减；
（III）证明：由（Ⅱ）知，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值为g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，
∴g′（a）=ln（-2a）-2，
令g′（a）=0，得a=-

1

2

e2．
当a变化时，g′（a），g（a）的变化情况如下表：

a

（-∞，-

1

2

e2）

-

1

2

e2

（-

1

2

e2，0）

g′（a）

+

0

-

g（a）

极大值

∴-

1

2

e2是g（a）在（-∞，0）上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g（a）的最大值点．
所以g（a）_max=g（-

1

2

e2）=

1

2

e2．
所以，当a∈（-∞，0）时，g（a）≤

1

2

e2成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+2a2x+x（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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