已知f（x）=ln（x+1），g(x)=12ax2+bx，（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立；（III）证明：若-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ln（x+1），g(x)=12ax2+bx，（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

ax2+bx，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）证明：若0＜x＜y，则xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）b=2时h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，h′(x)=

1

x

-ax-2，
∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0有解，
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解，．（2分）
①a≥0时合题意
②a＜0时，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范围是（-1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）设?（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x
?′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
?′（x）	+	0	-
?（x）	↗	最大值	↘

∵当x=0时，?（x）有最大值0∴?（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立．（8分）
（III）xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

=x(lnx-ln

x+y

2

)+y(lny-ln

x+y

2

)
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)．（10分）
当0＜x＜y时，

y-x

2x

＞-1，

x-y

2y

＞-1，
由（2）知xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

≥-x?

y-x

2x

-y?

x-y

2y

=0．（12分）
等号在

y-x

2x

=

x-y

2y

=0，即x=y时成立．
而y＞x＞0，所以xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

＞0成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ln（x+1），g(x)=12ax2+bx，（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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