已知函数f(x)=12(x-1)2+㏑x-ax+a．（I）若a=32，求函数f（x）的极值；（II）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12(x-1)2+㏑x-ax+a．（I）若a=32，求函数f（x）的极值；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

(x-1)2+㏑x-ax+a．
（I）若a=

3

2

，求函数f（x）的极值；
（II）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=x-1+

1

x

-a，
当a=

3

2

时，f′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

，
令f^′（x）=0，解得x=

1

2

或2．列表：

x

(0，

1

2

)

1

2

(

1

2

，2)

2

（2，+∞）

f^′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

等单调递增

函数f（x）在x=

1

2

处取得极大值f(

1

2

)=-

1

8

-ln2，
函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-

1

2

；
（II）f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，当x∈（1，3）时，(x+

1

x

)∈(2，

10

3

)，
（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3），f^′（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数，
?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；
（ii）当1+a≥

10

3

，即a≥

7

3

时，x∈（1，3）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数，
?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意，应舍去；
（iii）当2＜1+a＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

时，x∈（1，3）时，f^′（x）先取负，再取0，最后取正，函f（x）在（1，3）先递减，再递增，而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；
综上，a的取值范围是（-∞，1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12(x-1)2+㏑x-ax+a．（I）若a=32，求函数f（x）的极值；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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