已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值（1）求a、b的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(-

2

3

)=

12

9

-

4

3

a+b=0

f′(1)=3+2a+b=0

解得，

a=-

1

2

b=-2

f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x

（-∞，-

2

3

）

-

2

3

（-

2

3

，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↑

极大值

↓

极小值

↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1）．
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1， 2]，
当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值（1）求a、b的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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