已知函数f（x）=13ax3-12x2-16，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围（II）若f（x）≥lnx恒成立，求实数a的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13ax3-12x2-16，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上是减函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

ax3-

1

2

x2-

1

6

，a∈R．
（1）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围
（II）若f（x）≥lnx恒成立，求实数a的最小值．

试题来源：温州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由条件得f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，
即a≤

1

x

在x＞0上恒成立，∴a≤0 …（5分）
（II）问题等价于a≥

3x2+1+6lnx

2x3

恒成立，
设g（x）=

3x2+1+6lnx

2x3

，
则：g′（x）=

(6x+

6

x

)?2x3-(3x2+1+6lnx)

4x6

=

-3(x2-1+6lnx)

2x4

…（10分）
设h（x）=x²-1+6lnx（x＞0），则h（x）是增函数，且h（1）=0
∴由g′（x）＜0，可得h（x）＞0，即x＞1，由g′（x）＞0，可得h（x）＜0，即0＜x＜1，
∴g（x）_max=g（1）=2，
故a≥2，因此a_min=2…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13ax3-12x2-16，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上是减函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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