设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f‘（x）?g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=1-e^-x，函数g(x)=

x

ax+1

（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）?g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，求证：e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

（其中e是自然对数的底数）．

试题来源：资阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=1-e^-x，∴f′（x）=-e^-x?（-1）=e^-x，
函数h（x）=f′（x）?g（x）=xe^-x，
∴h′（x）=（1-x）?e^-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

1

e

．（4分）
（Ⅱ）由题1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴

x

ax+1

≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-

1

x

恒成立，则a≥0．
不等式1-e-x≤

x

ax+1

恒成立等价于（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e^-x），则μ′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
又令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
则v′（x）=e^-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e^-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′(x)=-a?e-x(x-

2a-1

a

)．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞

1

2

时，若0＜x＜

2a-1

a

时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，

2a-1

a

）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，

2a-1

a

）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，

1

2

]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=

1

2

时，则1-e-x≤

x

1

2

x+1

，
∴e-x≥

2-x

2+x

，
当x∈[0，2）时，e-x≥

2-x

2+x

，∴x≤ln

2+x

2-x

，
令

2+x

2-x

=n，则x=

2n-2

n+1

=2-

4

n+1

，
∴lnn≥2-

4

n+1

(n∈N*)，∴

n

k=1

lnk≥2n-

n

k=1

4

k+1

，
∴ln(n!)≥2n-

n

k=1

4

k+1

，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤

1

e

，当x＞0时，ln(xe-x)≤ln

1

e

=-1，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，
综上得2n-

n

k=1

4

k+1

≤ln（n!）≤

n2-n

2

，
即e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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