A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|-数学试题及答案

1、试题题目：A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：（1）对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．

试题来源：延庆县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=

3	1+2x

，
∵

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

，且1＜

3	3

＜

3	5

＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；
对任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|x₁-x₂|?

2

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x1)

+

3	(1+2x2)2

，
∵3＜

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x2)

+

3	(1+2x2)2

，
所以0＜

2

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x1)

+

3	(1+2x2)2

＜

2

3

，
令

2

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x1)

+

3	(1+2x2)2

=L，则0＜L＜1，
可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，满足（2）的条件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反证法：
设存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），则
由（I）的结论，得|φ（2x₀）-φ（2x0/）|≤L|x₁-x₂|，
得|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，
可得不存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），
因此如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：（1）对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：