在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．（1）求证：x与y的关系为y=xx+1；（2）设f(x)=xx+1，定义函数F(x)=1f(x)-1(0＜x≤1)，点列Pi（-数学试题及答案

1、试题题目：在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求证：x与y的关系为y=

x

x+1

；
（2）设f(x)=

x

x+1

，定义函数F(x)=

1

f(x)

-1(0＜x≤1)，点列P_i（x_i，F（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{x_n}是以首项为1，公比为

1

2

的等比数列，O为原点，令

OP

=

OP1

+

OP2

+…+

OPn

，是否存在点Q（1，m），使得

OP

⊥

OQ

？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．

试题来源：长宁区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

OM

OA

=

OM

CB

=

ON

NB

，
∴x=

y

1-y

，从而y=

x

1+x

．
（2）F(x)=

x+1

x

-1=

1

x

，
∴Pi(xi，

1

xi

)，又xn=(

1

2

)n-1，

1

xn

=2n-1，
∴

OP

=(1+

1

2

++

1

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

1

2n-1

，2n-1)．
设

OP

⊥

OQ

，则

OP

?

OQ

=0．
∴2-

1

2n-1

+m(2n-1)=0，
∵n≥2，∴m=-

1

2n-1

，
故存在Q(1，-

1

2n-1

)满足条件．
（3）当x∈[0，1]时，G(x)=

x

x+1

，
又由条件得G（2-x）=G（x），
∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．
当x∈[1，2]时，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=

2-x

2-x+1

=

2-x

3-x

，
∵G（2-x）=G（x），
∴G(x)=

2-x

3-x

，从而G(x)=

x

x+1

(0≤x≤1)

2-x

3-x

(1≤x≤2)

．
由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k

x-2k+1

x∈[2k，2k+1]

x-2k-2

x-2k-3

x∈[2k+1，2k+2]

．
设y1=G(x)，y2=ax+

1

2

，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，
当函数y2=ax+

1

2

图象经过点（2k+2，0）时，a=-

1

4(k+1)

．
由图象可知，当a∈[-

1

4(k+1)

，0)时，y₁与y₂的图象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有两个不同交点，
因此方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]上有两个不同的解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：