已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=a3x3+x．（1）当m=-2时，求f（x）的单调区间；（2）若m=32时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=a3x3+x．（1）当m=-2时，求f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=

a

3

x3+x．
（1）当m=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若m=

3

2

时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当m=-2时，f（x）=x（ln x-2）=xln x-2x，
定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x-1．…（2分）
由f′（x）＞0，得ln x-1＞0，所以x＞e．由f′（x）＜0，得ln x-1＜0，所以0＜x＜e．
故f（x）的单调递增区间是（e，+∞），递减区间是（0，e）．…（5分）
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

）（x＞0），
不等式g（x）≥f（x）即

a

3

x3+x≥x(ln x+

3

2

)恒成立．
由于x＞0，则

a

3

x2+1≥ln x+

3

2

，亦即

a

3

x2≥ln x+

1

2

，所以a≥

3(lnx+

1

2

)

x2

．
令h(x)=

3(lnx+

1

2

)

x2

，则h′(x)=

-6lnx

x3

，
由h′（x）=0得x=1，且当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（10分）
所以h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

3

2

，也是h（x）在定义域上的最大值．
因此要使a≥

3(lnx+

1

2

)

x2

恒成立，需有a≥

3

2

，故a的取值范围为[

3

2

，+∞)．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=a3x3+x．（1）当m=-2时，求f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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