发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-07 07:30:00
试题原文 |
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(I)证明:∵函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna, F(x)=ax+x2-xlna 求导函数,可得F′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna, 由于a>1, ∴lna>0,当x>0时,ax-1>0, ∴F′(x)>0,故函数F(x)在(0,+∞)上单调递增. (Ⅱ)令F′(x)=2x+(ax-1)lna=0,得到x=0, F′′(x)=ax(lna)2+2>0,F′(x)为单调增函数,说明x=0是唯一的极值点,也是最小值点;F(0)=1, ∵F′(0)=0,∴当x<0时,F′(x)<0,为减函数; F(x),F′(x)的变化情况如下表:
∴等价于方程
由①得,F(x)=3+b-
由②得,F(x)=-3+b-
综上得:b>2+
(Ⅲ)问题等价于F(x)在[-1,1]的最大值与最小值之差小于等于e2-2. 由(Ⅱ)可知F(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增, ∴F(x)的最小值为F(0)=1,最大值等于F(-1),F(1)中较大的一个, F(-1)=
记g(t)=t-
∵g′(t)=1+
∴g(t)在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0, 所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0, 也就是当t>1时,F(1)-F(-1)>0,即F(1)>F(-1); 又由a>1时,则F(x)的最小值为F(0)=1,最大值为F(1)=a+1-lna, 则|F(x2)-F(x1)|≤e2-2?F(1)-F(0)=a-lna≤e2-2, 令h(x)=x-lnx(x>1),h′(x)=1-
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,又a>1,∴h(a)=a-lna≤e2-2=h(e2) 解得a≤e2; 则a的取值范围为a∈(1,e2]. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.(I)求证函数F(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。