已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；（3）若对任意的t∈R，-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0…（1分）
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴-f（x）=f（-x）…（3分）
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．…（4分）
（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x_2，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）
∵x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．…（7分）
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）
∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）
（3）∵f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴

f(t2-2t)＞-f(t2-k)=f(-t2+k)

…（11分）
由（2）可知f（x）在R上单调递增，
∴t²-2t＞-t²+k，
∴k＜2t²-2t=2(t-

1

2

)2-

1

2

恒成立…（12分）
∴k＜-

1

2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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