定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．已知f（x）=ax2-|x|+2a-1（1）若a=1，判断函数f（x）在[1，2]上是否具有“D-数学试题及答案

1、试题题目：定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．已知f（x）=ax²-|x|+2a-1
（1）若a=1，判断函数f（x）在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由．
（2）若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a=1，x∈[1，2]
∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1

，x∈[1，2]

，
∴f（x）_min=1≤1，
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1…（5分）
①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）
②若a≠0，则f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，函数的对称轴为直线x=

1

2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）
当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）_min=f（1）=3a-2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1
∴

1

2

＜a≤1…（8分）
当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
若函数f（x）具有“DK”性质，则2a-

1

4a

-1≤1得

2-

6

4

≤a≤

2+

6

4

∴

1

4

≤a≤

1

2

…（9分）
当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1，满足函数f（x）具有“DK”性质，∴0＜a＜

1

4

…（10分）
综上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，则a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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