设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|t-12|+h≥0恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x3-tx+

t-1

2

，t∈R．
（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：
（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|

t-1

2

|+h≥0恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=x3-tx+

t-1

2

，t∈R，∴f^′（x）=3x²-t．
1°若t≤0，则f^′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x²≤3，∴f^′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则f′(x)=3(x+

t

3

)(x-

t

3

)，令f^′（x）=0，解得x=

t

3

，
当x∈[0，

t

3

)时，f^′（x）＜0，∴f（x）在x∈[0，

t

3

)上单调递减；
当x∈(

t

3

，1]时，f^′（x）＞0，∴f（x）在x∈(

t

3

，1]上单调递增．
（2）f(x)+|

t-1

2

|+h≥0?f(x)+|

t-1

2

|≥-h，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，f(x)+|

t-1

2

|的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+|

t-1

2

|，x∈[0，1]，
而g^′（x）=f^′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）_min=min{g（0），g（1）}=min{

t-1

2

+|

t-1

2

|，

1-t

2

+|

t-1

2

|}=0．
当0＜t＜3时，则g(x)min=g(

t

3

)=-

2

3

t

3

+

t-1

2

+|

t-1

2

|．
∴h（t）=

0，当t≤0或t≥3时

-

2

3

t

3

+

t-1

2

+|

t-1

2

|，当0＜t＜3时

．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=-

2t

3

t

3

在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=-

2t

3

t

3

+t-1，h′(t)=1-

t

3

＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-

2

3

9

．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，f(x)+|

t-1

2

|的最小值为m=-

2

3

9

，即得h的最小值为-m=

2

3

9

．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+|

t-1

2

|=-xt+

t-1

2

+|

t-1

2

|+x³=

-xt+x3，当t＜1时

(1-x)t+x3-1，当t≥1时

的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g^′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g^′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x³-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x³-x在x∈[0，1]时的最小值．
h^′（x）=3x²-1，令h^′（x）=0，解得x=

3

．
当x∈(0，

3

)时，h^′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当x∈(

3

，1)时，h^′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为h(

3

)=-

2

3

9

．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.f(x)+|

t-1

2

|的最小值m=-

2

3

9

，即得h的最小值为-m=

2

3

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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