已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥-1成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（1）若a=0，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥-1成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（x）的定义域为（0，+∞）． …1分
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=1+lnx． …2分
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
从而f（x）在(0，

1

e

)单调递减，在(

1

e

，+∞)单调递增．
所以，当x=

1

e

时，f（x）取得最小值-

1

e

． …4分
（Ⅱ）依题意，得f（x）≥-1在[1，+∞）上恒成立，即f（x）=xlnx+ax≥-1成立，
即不等式a≥-(lnx+

1

x

)对于x∈[1，+∞）恒成立．
设g(x)=lnx+

1

x

，则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

．
当x＞1时，因为g′(x)=

x-1

x2

＞0，
故g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以 g（x）的最小值是g（1）=1，从而-g（x）的最大值是-g（1）=-1． …8分
所以a的取值范围是[-1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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