已知函数f(x)=a?2x-b2x+b是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过点(13，1)，若x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log21+xm恒成立，则实数m的取值范围为_____

1、试题题目：已知函数f(x)=a?2x-b2x+b是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a?2x-b

2x+b

是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过点(

1

3

，1)，若x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，则实数m的取值范围为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）是奇函数，∴f(0)=0?

a?1-b

1+b

=0，
∴a=b①…（2分）
又其反函数的图象过点(

1

3

，1)，得原函数过点（1，

1

3

），
∴f(1)=

1

3

?

a?2-b

2+b

=

1

3

②．
由①②得a=b=1．
记y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0，
∴

1+y

1-y

＞0?-1＜y＜1
上式两边取2为底的对数，x=log2

1+y

1-y

，交换x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函数f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
从而log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函数，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范围是m≥2…（13分）
故答案为：m≥2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a?2x-b2x+b是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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