已知函数f（x）的图象与函数y=ax-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=loga（x2-3x+3）（a＞1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[logapm，loga-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的图象与函数y=ax-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的图象与函数y=a^x-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-3x+3）（a＞1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga

p

m

，loga

p

n

]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

试题来源：闵行区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本题满分18分）
（文科）（1）由已知得 f（x）=log_a（x+1）；（4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，g(n)=loga(n+1)=loga

p

n

；
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=

p

x

即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于

△=1+4p＞0

(-1)2+(-1)-p＞0

-

1

2

＞-1

，（10分）解得-

1

4

＜p＜0为所求．（12分）
另可转化为函数y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-

1

4

＜p＜0．
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=

(x+1)

x2-3x+3

，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+

7

x+1

-5≥2

7

-5，当且仅当x=

7

-1时等号成立，∴

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+

7

x+1

-5

∈(0，

2

7

+5

3

]，（16分）∴F(x)max=F(

7

-1)=

2

7

+5

3

，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，所以w≥

2

7

+5

3

为所求．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的图象与函数y=ax-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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