设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x1-x2）=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2)，（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；（2）判断并证-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

，
（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）对于x∈D都成立，则都称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取f（x）=tanx，定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；且存在常数a=

π

4

使得
f（a）=tana=1；又由两角差的正切公式知，f(x1-x2) =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

符合．…（4分）
（2）f（x）是D上的奇函数；
证明如下：f（0）=0，取x₁=0，x₂=x，由f(x1-x2) =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

得f（-x）=-f（x），所以f（x）是D上的奇函数；…（4分）
（3）考察f（x）=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f（x）的一个周期．
证明：由已知f(x-a)=

f(x)-f(a)

1+f(x)f(a)

=

f(x)-1

1+f(x)

，则f(x-2a)=f[(x-a)-a]=

f(x-a)-1

1+f(x-a)

=[

f(x)-1

1+f(x)

-1 ] ÷[1+

f(x)-1

1+f(x)

] = -

1

f(x)

，
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-

1

f(x-2a)

=f(x)．
所以f（x）是周期函数，4a是f（x）的一个周期．…（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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