已知函数f（x）=12x-1+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x-1+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0
∴

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0，解得a=

1

2

∴函数f（x）=

1

2x-1

+

1

2

（2）由（1）得f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

当x₁，x₂∈（0，+∞）时，2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x2＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
当x₁，x₂∈（-∞，0）时，2x1-1＜0，2x2-1＜0，2x2-2x1＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
综上知，
f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x-1+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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