已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-13y2（2x-y+3），（1）求函数f（x）的表达式；（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-

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y²（2x-y+3），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-

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y2(2x-y+3)，
∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-

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x2(2x-x+3)，即f(x)=

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x3+x2+1，
（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点
又因为f′（x）=x²+2x=x（x+2），
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=

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，
当x=0时，f（x）取极小值，f（x）_极小值=1，
∴1＜a＜

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3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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