如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．（1）求函数f（t）解析式；（2）画出函数y=f（t）的图象；（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时-数学试题及答案

1、试题题目：如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）解析式；
（2）画出函数y=f（t）的图象；
（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当0＜t≤1时，f(t)=

3

2

t² （1分）
当1＜t≤2时，f(t)=

3

-

3

2

(2-t)2 （2分）
当t＞2时，f(t)=

3

（3分）
所以f(t)=

3

2

t2，0＜t≤1

3

-

3

2

(2-t)2，1＜t≤2

3

，t＞2

（4分）
（2）画图象（4分），如图：（其中图形（3分），规范1分）
（3）当0＜t≤1时，g(t)=

3

2

t2-at，由g(t)=

3

2

t2-at=0，解得t=

2a

3

因为0＜t≤1，所以0＜

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

（9分）
当a=

3

2

时，直线y=at过点(1，

3

2

)，(2，

3

)，这两点都在f（t）的图象上
当0＜a＜

3

2

时，直线y=at与射线y=

3

有一个交点（10分）
当1＜t≤2时，直线y=a（a＞

3

2

）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y=

3

无交点．（11分）
此时

3

-

3

2

(2-t)2-at=0，所以 t2-(4-

2

3

a)t+2=0，
所以△=(4-

2

3

a)2-8=0，解得a=2

3

-

6

或a=2

3

+

6

．（12分）
当a=2

3

-

6

时，t2-2

2

t+2=0，所以t=

2

在（1，2]内．
当a=2

3

+

6

．时t=-

2

不在（1，2]内，（13分）
当a≤0或a＞2

3

-

6

时，直线y=at与f（t）的图象无交点
所以a=2

3

-

6

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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