已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；（2）求证：an+1-bn+1＜；（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有-数学试题及答案

1、试题题目：已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。
（1）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（2）求证：a_n+1-b_n+1＜；
（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。

试题来源：北京模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：反证法与放缩法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：易知对任意n∈N*，a_n>0，b_n>0
由a≠b，可知

，即a₁>b₁同理，

，即a₂>b₂可知对任意n∈N*，a_n>b_n

所以数列{a_n}是递减数列

所以数列{b_n}是递增数列。
（2）证明：

。
（3）由

可得

若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，
则对任意n∈N*，

即

对任意n∈N*成立，
即

对任意n∈N*成立，
设[x]表示不超过x的最大整数，
则有

即当

时，

与

对任意n∈N*成立矛盾
所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：..”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法与放缩法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法与放缩法”。

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